anii 1960, Mandelbrot a început să cerceteze autosimilaritatea în lucrări precum Cât de lungă este coasta Marii Britanii? Autosimilaritate statistică și dimensiune fracțională. În sfârșit, în 1975, Mandelbrot a inventat termenul "fractal" pentru a denumi un obiect al cărei dimensiune Hausdorff-Besicovitch este mai mare decât dimensiunea topologică a sa. A ilustrat această definiție matematică cu imagini construite pe calculator. Funcțiile iterate în planul complex au fost investigate la sfârșitul secolului 19 și începutul secolului 20 de Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou și Gaston Julia. Totuși, fără ajutorul graficii pe calculator moderne, ei nu puteau vizualiza frumusețea numeroaselor obiecte pe care le descoepriseră. Colocvial, un fractal este o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părți, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puțin aproximativ) o copie miniaturală a întregului". [1] Termenul a fost introdus de Benoît Mandelbrot în 1975 și este derivat din latinescul fractus, însemnând "spart" sau "fracturat".

Fractal dimension - Wikipedia

Printre acestea se numără curba lui Koch, o curbă de lungime infinită ce limitează o arie finită și care nu admite tangentă în niciun punct al acesteia și dimensiunea Hausdorff, obiect geometric care nu are dimensiunea întreagă. Odată cu evoluția științei, modelele devin tot mai complexe și se apropie tot mai mult de fenomenele reale observate. Mandelbrot folosește termenul fractal în sensul de "neregulat", iar definiția pe care o formulează este: din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să-și explice anumite fenomene, prin intermediul unor modele, care la început au fost simpliste, dar aproximând natura. Granița mulțimii lui Mandelbrot este un exemplu faimos de fractal. Altă imagine a mulțimii lui Mandelbrot.

a doua parte a secolului al XIX-lea și începutul secolului XX, anumiți matematicieni semnalează existența unor entități geometrice excepționale, fără nicio asemănare cu figurile și corpurile studiate până atunci. Așadar, din punct de vedere geometric, fractalul este un anasamblu ale cărui părți sunt într-o bună măsură identice cu întregul. Acesta observă că forma unui munte nu este o piramidă sau un con, trunchiul îmbrăcat cu scoarță al unui copac nu este un cilindru perfect neted, norii nu sunt sfere.

fractalic_anna chaturbate cum record Video | [31-01-23] fractalic_anna chaturbate cum record

Istorie [ modificare | modificare sursă ] Pentru a crea un fulg Koch, se începe cu un triunghi echilateral și se înlocuiește treimea din mijloc de pe fiecare latură cu două segmente astfel încât să se formeze un nou triunhghi echilateral exterior. Apoi se execută aceiași pași pe fiecare segment de linie a formei rezultate, la infinit. Cu fiecare iterație, perimetrul acestei figuri crește cu patru treimi. Fulgul Koch este rezultatul unui număr infinit de execuții ale acestor pași, și are lungime infinită, în timp ce aria sa rămâne finită. De aceea, fulgul Koch și construcțiile similare sunt numite uneori "curbe monstru." Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deși această cerință nu este îndeplinită de curbele Hilbert). Kolmogorov introduce conceptul de dimensiune de autosimilaritate ( de capacitate) în următorul mod: Cuvântul fractal provine din latinul fractuus, ce derivă din verbul frangere care înseamnă "a rupe", "a fragmenta", "a frânge". O clasă de exemple simple este dată de mulțimile Cantor, triunghiul și covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano și curba Koch. Alte exemple de fractali sunt fractalul lui Lyapunov și mulțimile limită ale grupurilor Kleiniene. Fractalii pot fi determiniști (toți cei anteriori) sau stocastici (adică nedeterminiști). De exemplu, traiectoriile mișcării browniene în plan au dimensiunea Hausdorff 2.

Așadar, în natură nu întâlnim forme geometrice simple, regulate, ci forme cu un grad înalt de complexitate și unicitate. Matematica din spatele fractalilor a apărut în secolul 17, când filosoful Gottfried Leibniz a considerat autosimilaritatea recursivă (deși greșise gândindu-se că numai liniile drepte sunt autosimilare în acest sens). Cel care își dă seama că asemenea ciudățenii matematice nu constituie doar un exercițiu de imaginație și că se regăsesc în natură a fost Benoît Mandelbrot. Chiar și la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuția Pareto produce forme similare la diferite niveluri de grosisment.

Fractalic Awakening - New metaphysics, fractal, fractals

Exemple [ modificare | modificare sursă ] O mulțime Julia, un fractal înrudit cu mulțimea lui Mandelbrot

3. Complexity from simplicity

Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii. Obiectele din spațiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi fractali (vezi atractor). Obiectele din spațiul parametrilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea fractali. Un exemplu interesant este mulțimea lui Mandelbrot. Această mulțime conține discuri întregi, deci are dimensiunea Hausdorff egală cu dimensiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este surprinzător este că granița mulțimii lui Mandelbrot are de asemenea dimensiunea Hausdorff 2 (în timp ce dimensiunea topologică este 1), un rezultat demonstrat de Mitsuhiro Shishikura în 1991. Un fractal foarte înrudit este mulțimea Julia. a apărut o funcție al cărei grafic este considerat azi fractal, când Karl Weierstrass a dat un exemplu de funcție cu proprietatea că este continuă, dar nediferențiabilă. În 1904, Helge von Koch, nesatisfăcut de definiția abstractă și analitică a lui Weierstrass, a dat o definiție geometrică a unei funcții similare, care se numește astăzi fulgul lui Koch. În 1915, Waclaw Sierpinski a construit triunghiul și, un an mai târziu, covorul lui Sierpinski. La origine, acești fractali geometrici au fost descriși drept curbe în loc de forme bidimensionale, așa cum sunt cunoscute astăzi. Ideea de curbe autosimilare a fost preluată de Paul Pierre Lévy, care, în lucrarea sa Curbe și suprafețe în plan sau spațiu formate din parți similare întregului din 1938, a descris o nouă curbă fractal, curba C a lui Lévy.